「選択公理⇒ツォルンの補題」の証明

(いずれのばあいもどうようであるから，)

いずれの場合も同様であるから,

(たとえばｗがｗ’のｂ’によるせっぺんにじゅんじょどうけいであるとし，)

たとえばWがW'のb'による切片に順序同型であるとし,

(ｗからｗ’のｂ’によるせっぺんへのじゅんじょどうけいしゃぞうをｆとする．)

WからW'のb'による切片への順序同型写像をfとする.

(このとき，じつはｗのにんいのげんｘにたいしてｆｘはｘとなり，)

このとき, 実はWの任意の元xに対してf(x)はxとなり,

(したがってｗはｗ’のｂ’によるせっぺんといっちすることが，)

したがってWはW'のb'による切片と一致することが,

(つぎのようにちょうげんきのうほうによってしめされるのである．)

次のように超限帰納法によって示されるのである.

(まずｘ０はｗのさいしょうげん，ｗ’のさいしょうげん，)

まずx0はWの最小元, W'の最小元,

(ｗ’のｂ’によるせっぺんのさいしょうげんとひとしくなるから，)

W'のb'による切片の最小元と等しくなるから,

(ｆｘ０がｘ０になることはあきらかである．)

f(x0)がx0になることは明らかである.

(つぎに，ｘをｗのｘ０いがいのにんいのげんとし，)

次に, xをWのx0以外の任意の元とし,

(ｘよりちいさいｗのすべてのげんｙにたいしてｆｙがｙになるとかていする．)

xより小さいWのすべての元yに対してf(y)がyになると仮定する.

(そのとき，もしｘがｗのなかにちょくぜんのげんｘ＊をもつならば，)

そのとき, もしxがWの中に直前の元x*をもつならば,

(ｆがじゅんじょどうけいしゃぞうであることから，)

fが順序同型写像であることから,

(ｆｘ＊はｗ’のｂ’によるせっぺんのなかで，したがってまたｗ’のなかで，)

f(x*)はW'のb'による切片の中で, したがってまたW'の中で,

(ｆｘのちょくぜんのげんとなる．)

f(x)の直前の元となる.

(しかるにｆｘ＊はｘ＊であるから，じょうけん３によって)

しかるにf(x*)はx*であるから, 条件３によって

(ｆｘはふぁいｆｘ＊，ふぁいｘ＊，ｘとひとしくなる．)

f(x)はφ(f(x*), φ(x*), xと等しくなる.

(また，ｘがｗのなかにちょくぜんのげんをもたないばあいは，)

また, xがWの中に直前の元をもたない場合は,

(おなじくｆがじゅんじょどうけいしゃぞうであるから，)

同じくfが順序同型写像であるから,

(ｆｘもｗ’のｂ’によるせっぺんのなかに，)

f(x)もW'のb'による切片の中に,

(したがってまたｗ’のなかにちょくぜんのげんをもたない．)

したがってまたW'の中に直前の元をもたない.

(かつ，ｆによるｗのｘによるせっぺんのぞうはあきらかに)

かつ, fによるWのxによる切片の像は明らかに

(ｗ’のｂ’によるせっぺんのｆｘによるせっぺん，)

W'のb'による切片のf(x)による切片,

(つまりｗ’のｆｘによるせっぺんとなるが，)

つまりW'のf(x)による切片となるが,

(ｗのｘによるせっぺんのにんいのげんｙにたいしてｆｙはｙであるから，)

Wのxによる切片の任意の元yに対してf(y)はyであるから,

(ｗのｘによるせっぺんはｗ’のｆｘによるせっぺんとひとしくなる．)

Wのxによる切片はW'のf(x)による切片と等しくなる.

(したがってじょうけん４により，)

したがって条件４により,

(ｆｘはｗ’のｆｘによるせっぺんのａにおけるじょうげん，)

f(x)はW'のf(x)による切片のAにおける上限,

(ｗのｘによるせっぺんのａにおけるじょうげん，つまりｘにひとしくなる．)

Wのxによる切片のAにおける上限, つまりxに等しくなる.

(いじょうで，ｗにぞくするにんいのふたつのしゅうごうはいっちするか)

以上で, [W]に属する任意の二つの集合は一致するか

(またはいっぽうがたほうのせっぺんであることがしめされた．)

または一方が他方の切片であることが示された.

(したがって，ｗのわしゅうごうをｗ０とおけば，ｗ０もせいれつしゅうごうとなる．)

したがって, [W]の和集合をW0とおけば, W0も整列集合となる.

(さらに，ｗのにんいのげんはｗ０といっちするかまたはｗ０のせっぺんである．)

さらに, [W]の任意の元はW0と一致するかまたはW0の切片である.

(このことにちゅういすれば，ｗ０もじょうけん２から４をみたすことが)

このことに注意すれば, W0も条件２から４を満たすことが

(よういにけんしょうされる．)

容易に検証される.

(ゆえにｗ０もｗのげんとなる．)

ゆえにW0も[W]の元となる.

(これはほうがんかんけいのいみでｗのさいだいげんである．)

これは包含関係の意味で[W]の最大元である.

(ａはきのうてきで，ｗ０はａのせいれつぶぶんしゅうごうであるから，)

Aは帰納的で, W0はAの整列部分集合であるから,

(ていぎによりｗ０のａにおけるじょうげんａがそんざいする．)

定義によりW0のAにおける上限aが存在する.

(このａはｗ０のげんでなければならない．)

このaはW0の元でなければならない.

(じっさい，もしａがｗ０のげんでないならば，)

実際, もしaがW0の元でないならば,

(ｗ０にａをくわえたしゅうごうｗ０’もまたじょうけん１から４をまんぞくすることが)

W0にaを加えた集合W0'もまた条件１から４を満足することが

(ｗ０’がせいれつしゅうごうで，そのａによるせっぺんがｗ０といっちすること)

W0'が整列集合で, そのaによる切片がW0と一致すること

(などにちゅういすればただちにみられる．)

などに注意すれば直ちにみられる.

(しかし，これはｗ０がｗのさいだいげんであることにはんする．)

しかし, これはW0が[W]の最大元であることに反する.

(したがってａはｗ０にぞくする．)

したがってaはW0に属する.

(よってａはｗ０のさいだいげんである．)

よってaはW0の最大元である.

(このａにたいしてふぁいａがａとひとしくなることをしめそう．)

このaに対してφ(a)がaと等しくなることを示そう.

(もしふぁいａがａとことなれば，ふぁいａはａよりおおきくなければならないが，)

もしφ(a)がaと異なれば, φ(a)はaより大きくなければならないが,

(そのばあいはａがｗ０のさいだいげんであるからふぁいａがｗ０にぞくさないことになる．)

その場合はaがW0の最大元であるからφ(a)がW0に属さないことになる.

(そしてこんどは，ｗ０にふぁいａをくわえたしゅうごうがじょうけん１から４をみたすことが，)

そして今度は, W0にφ(a)を加えた集合が条件１から４を満たすことが,

(うえとどうようにしてただちにしられる．)

上と同様にして直ちに知られる.

(これもｗ０のさいだいせいにはんする．)

これもW0の最大性に反する.

(よってふぁいａはａとひとしくなければならない．)

よってφ(a)はaと等しくなければならない.

(ほだい１のしょうめいおわり．)

補題１の証明終わり.

(ほだい２ａをきょくだいげんをもたないじゅんじょしゅうごうとすれば，)

補題２　Aを極大元を持たない順序集合とすれば,

(ａからａへのしゃぞうふぁいで，ａのすべてのげんｘにたいして)

AからAへの写像φで, Aのすべての元xに対して

(ふぁいｘがｘよりおおきくなるものがそんざいする．)

φ(x)がxより大きくなるものが存在する.

(しょうめいａのすべてのくうでないぶぶんしゅうごうからなるしゅうごうけいをｍとする．)

証明　Aのすべての空でない部分集合から成る集合系を[M]とする.

(せんたくこうりによって，ｍでていぎされたしゃぞうふぁいで，)

選択公理によって, [M]で定義された写像Φで,

(ｍのすべてのげんｍにたいし)

[M]のすべての元Mに対し

(ふぁいｍがｍのげんであるようなものがそんざいする．)

Φ(M)がMの元であるようなものが存在する.

(いま，ａはきょくだいげんをもたないとかていされているから，)

いま, Aは極大元をもたないと仮定されているから,

(ａのげんｘにたいして，ｘよりおおきいａのげんｙからなるしゅうごうをｍｘとおけば，)

Aの元xに対して, xより大きいAの元yからなる集合をMxとおけば,

(ａのどのげんｘにたいしてもｍｘはくうしゅうごうでない，)

Aのどの元xに対してもMxは空集合でない,

(すなわちｍｘはｍにふくまれる．)

すなわちMxは[M]に含まれる.

(そこで，ａのにんいのげんｘにたいし，ふぁいｘをふぁいｍｘとして，)

そこで, Aの任意の元xに対し, φ(x)をΦ(Mx)として,

(ａからａへのしゃぞうふぁいをていぎすれば，ふぁいｘはｍｘのげんであるから，)

AからAへの写像φを定義すれば, φ(x)はMxの元であるから,

(ふぁいｘはｘよりおおきくなる．)

φ(x)はxより大きくなる.

(ほだい２のしょうめいおわり．)

補題２の証明終わり.

(つぉるんのほだいのしょうめい)

ツォルンの補題の証明

(ほだい１とほだい２からえられることはあきらかであろう．)

補題１と補題２から得られることは明らかであろう.

(つぉるんのほだいのしょうめいおわり．)

ツォルンの補題の証明終わり.