選択公理⇒ツォルンの補題 の証明

(ｘすなわちふぁいｘはふぁいｙみまんのため，ｘはｗ２ふぁいｙにふくまれる．)

x即ちφ(x)はφ(y)未満のため, xはW2〈φ(y)〉に含まれる.

(したがって，ｗ１ｙはｗ２ふぁいｙのぶぶんしゅうごうである．)

従って, W1〈y〉はW2〈φ(y)〉の部分集合である.

(ぎゃくにふぁいｙみまんのｗ２のげんｘにたいし，ｙすなわちふぁいｙのふぁいによるひきもどしは，)

逆にφ(y)未満のW2の元xに対し，y即ちφ(y)のφによる引き戻しは,

(ｘのふぁいによるひきもどしすなわちｘよりしんにちいさいため，)

xのφによる引き戻し即ちxより真に小さいため,

(ｗ２ふぁいｙはｗ１ｙのぶぶんしゅうごうである．)

W2〈φ(y)〉はW1〈y〉の部分集合である.

(したがってけっきょく，ｗ１ｙとｗ２ふぁいｙはいっちする．)

従って結局, W1〈y〉とW2〈φ(y)〉は一致する.

(よって，でるたｗ１，ｙとでるたｗ２，ふぁいｙもいっちするため，)

よって, Δ(W1, y)とΔ(W2, φ(y))も一致するため,

(それらのｆによるいきさきをかんがえれば，)

それらのfによる行き先を考えれば,

(ｗ１やｗ２はｆれつであることからｙとふぁいｙはいっちする．)

W1やW2はf列であることからyとφ(y)は一致する.

(これはｙがｖのげんであることにむじゅんする．)

これはyがVの元であることに矛盾する.

(よってｖはくうしゅうごうとなり，にんいのｗ１のげんｘにたいしふぁいｘはｘとなる．)

よってVは空集合となり, 任意のW1の元xに対しφ(x)はxとなる.

(ゆえにｗ１はｗ２ａにひとしい．)

ゆえにW1はW2〈a〉に等しい.

(どうようにして，ｗ１のせっぺんがｗ２とじゅんじょどうけいならそれらはしゅうごうとしていっちし，)

同様にして, W1の切片がW2と順序同型ならそれらは集合として一致し,

(ｗ１とｗ２がじゅんじょどうけいならそれらはしゅうごうとしていっちすることもしめせる．)

W1とW2が順序同型ならそれらは集合として一致することも示せる.

(すべてのｆれつのわしゅうごうｗはせいれつしゅうごうであることをしめそう．)

全てのf列の和集合W∞は整列集合であることを示そう.

ここから原文の(2)の内容

(ｗのくうでないぶぶんしゅうごうｍをにんいにとり，ｍのげんａをとる．)

W∞の空でない部分集合Mを任意にとり, Mの元aをとる.

(ａをふくむｆれつｗをひとつとると，ｗはせいれつしゅうごうであるから，)

aを含むf列Wを一つとると, Wは整列集合であるから,

(ｗとｍのまじわりはくうでないｗのぶぶんしゅうごうのため，そのさいしょうげんｍがそんざいする．)

WとMの交わりは空でないWの部分集合のため, その最小元mが存在する.

(このとき，ｍのさいしょうげんがそんざいし，ｍといっちすることをしめす．)

このとき, Mの最小元が存在し, mと一致することを示す.

原文では背理法で示していましたが, ここでは直説法で示します

(ｍのげんｙをにんいにとる．ｙがｗにもふくまれていれば，ｍはｙいかである．)

Mの元yを任意にとる. yがWにも含まれていれば, mはy以下である.

(ｙはｗにふくまれていないとし，ｙをふくむｆれつｗ’をひとつとる．)

yはWに含まれていないとし, yを含むf列W'を一つとる.

(このとき，ｗとｗ’はいっちせず，またｗのせっぺんはｗ’といっちしないため，)

このとき, WとW'は一致せず, またWの切片はW'と一致しないため,

(いぜんしめしたことからあるｗ’のげんｂがそんざいしてｗとｗ’ｂはいっちする．)

以前示したことからあるW'の元bが存在してWとW'〈b〉は一致する.

「以前示したこと」とは(1)の内容のこと

(ｙはｗすなわちｗ’ｂにふくまれないため，ｂはｙいかである．)

yはW即ちW'〈b〉に含まれないため, bはy以下である.

(いっぽうｍはｗ’ｂにふくまれるためｍはｂみまん，したがってｍはｙみまんとなる．)

一方mはW'〈b〉に含まれるためmはb未満, 従ってmはy未満となる.

(よっていずれのばあいもｍはｙいかとなるため，ｍはｍのさいしょうげんとなる．)

よっていずれの場合もmはy以下となるため, mはMの最小元となる.

(ゆえにｗはせいれつしゅうごうである．)

ゆえにW∞は整列集合である.

(にんいのｆれつｗにたいし，ｗはｗであるか，またはそのせっぺんであることをしめす．)

任意のf列Wに対し, WはW∞であるか，またはその切片であることを示す.

ここから原文の(3)の内容

(ｗはｗでないとかていすると，ｗとｗのさしゅうごうのさいしょうげんａがそんざいする．)

WはW∞でないと仮定すると, W∞とWの差集合の最小元aが存在する.

(このとき，ｗはｗａであることをしめそう．)

このとき, WはW∞〈a〉であることを示そう.

(ａをふくむｆれつｗ’をひとつとる．ｗはｗ’とはなりえず，)

aを含むf列W'を一つとる. WはW'とはなりえず,

(またｗ’はｗのせっぺんとはなりえないため，)

またW'はWの切片とはなりえないため,

(あるｗ’のげんｂがそんざいしてｗはｗ’ｂとなる．)

あるW'の元bが存在してWはW'〈b〉となる.

(ｗａのげんｘをとる．ｘがｗにふくまれていなければ，)

W∞〈a〉の元xをとる. xがWに含まれていなければ,

W∞〈a〉がWに含まれることを原文より詳しく証明します

(ｘはｗとｗのさしゅうごうにふくまれていて，さらにａよりしんにちいさいため，)

xはW∞とWの差集合に含まれていて, さらにaより真に小さいため,

(ａのさいしょうせいにむじゅんする．したがってｘはｗにふくまれている．)

aの最小性に矛盾する. 従ってxはWに含まれている.

(よってｗａはｗのぶぶんしゅうごうである．)

よってW∞〈a〉はWの部分集合である.

(また，ｗ’はｗのぶぶんしゅうごうのため，ｗ’ａはｗａのぶぶんしゅうごう．)

また, W'はW∞の部分集合のため, W'〈a〉はW∞〈a〉の部分集合.

(さらに，ａはｗすなわちｗ’ｂにふくまれないため，ｂはａいかであり，)

さらに, aはW即ちW'〈b〉に含まれないため, bはa以下であり,

W'〈b〉がW'〈a〉に含まれることを原文より簡潔に証明します

(それゆえｗ’ｂはｗ’ａのぶぶんしゅうごうとなる．)

それゆえW'〈b〉はW'〈a〉の部分集合となる.

(したがって，ｗａ，ｗ，ｗ’ｂ，ｗ’ａ，ｗａは)

従って, W∞〈a〉, W, W'〈b〉, W'〈a〉, W∞〈a〉は

(このじゅんにほうがんかんけいをなすため，これらはすべてひとしい．)

この順に包含関係をなすため, これらは全て等しい.

(よってｗはｗａといっちする．)

よってWはW∞〈a〉と一致する.

(ゆえに，ｆれつはｗであるか，またはそのせっぺんとひとしくなる．)

ゆえに, f列はW∞であるか, またはその切片と等しくなる.

(ｗがｆれつであることをしめす．ｗがせいれつしゅうごうであることはすでにしめした．)

W∞がf列であることを示す. W∞が整列集合であることは既に示した.

ここから原文の(4)の内容

(ｗのげんａをにんいにあたえ，ａをふくむｆれつｗをひとつとる．)

W∞の元aを任意に与え, aを含むf列Wを一つとる.

(このとき，あるｗのげんａ’がそんざいしてｗはｗａとなるため，)

このとき, あるW∞の元a'が存在してWはW∞〈a〉となるため,

(ｗａはｗａ’のａによるせっぺん，つまりｗａとひとしくなる．)

W〈a〉はW∞〈a'〉のaによる切片, つまりW∞〈a〉と等しくなる.

(したがってでるたｗ，ａはでるたｗ，ａとひとしくなる．)

従ってΔ(W∞, a)はΔ(W, a)と等しくなる.

(ｗはｆれつよりそれらをｆでおくるとａになるため，ｗはｆれつである．)

Wはf列よりそれらをfで送るとaになるため, W∞はf列である.

(いよいよ，ｘのきょくだいげんがそんざいすることをしめす．)

いよいよ, Xの極大元が存在することを示す.

(これまでしめしてきたことにより，ｗはほうがんかんけいのいみでさいだいのｆれつである．)

これまで示してきたことにより, W∞は包含関係の意味で最大のf列である.

(さらにｗはせいれつしゅうごう，とくにぜんじゅんじょしゅうごうであることもしめしたから，)

さらにW∞は整列集合, とくに全順序集合であることも示したから,

(ｘはきのうてきであることより，ｗはじょうかいをもつ．)

Xは帰納的であることより, W∞は上界をもつ.

(そのひとつをｗとすると，ｗはｘのきょくだいげんであることがつぎのようにしてしめされる．)

その一つをwとすると，wはXの極大元であることが次のようにして示される.

(ｗがｘのきょくだいげんでない，つまりｗよりしんにおおきいｗ’がそんざいするとかていする．)

wがXの極大元でない, つまりwより真に大きいw'が存在すると仮定する.

(ｗのにんいのげんよりしんにおおきいｘのげんぜんたいからなるしゅうごうでるたをさだめる．)

W∞の任意の元より真に大きいXの元全体からなる集合Δ∞を定める.

(ｗのげんｂにたいし，ｗはｂいじょうであり，またｗ’はｗよりしんにおおきいため，)

W∞の元bに対し, wはb以上であり, またw'はwより真に大きいため,

(ｗ’はｂよりしんにおおきく，したがってｗ’はでるたにふくまれる．)

w'はbより真に大きく, 従ってw'はΔ∞に含まれる.

(よってでるたはくうではないため，ｚをｆでるたとあたえ，)

よってΔ∞は空ではないため, zをf(Δ∞)と与え,

(ｗをｗとｚからなるいってんしゅうごうのわしゅうごうとさだめる．)

W*をW∞とzからなる一点集合の和集合と定める.

(このとき，ｗはｆれつであることをしめす．)

このとき, W*はf列であることを示す.

(ｚはでるたのげんであるため，ｚはｗのにんいのげんよりしんにおおきい．)

zはΔ∞の元であるため, zはW∞の任意の元より真に大きい.

(したがって，ｗのにんいのくうでないぶぶんしゅうごうａにたいし，)

従って, W*の任意の空でない部分集合Aに対し,

(ａがｚならｚはａのさいしょうげんで，そうでなければａからｚをのぞいたしゅうごうは)

Aが{z}ならzはAの最小元で, そうでなければAからzを除いた集合は

(ｗのくうでないぶぶんしゅうごうとなるが，そのさいしょうげんがａのさいしょうげんとなる．)

W∞の空でない部分集合となるが、その最小元がAの最小元となる.

(よってｗはせいれつしゅうごうである．)

よってW*は整列集合である.

(ｗｚはｗであり，でるたとでるたｗ，ｚのていぎはいっちするため，)

W*〈z〉はW∞であり, Δ∞とΔ(W*, z)の定義は一致するため,

(でるたｗ，ｚすなわちでるたのｆによるいきさきはｚとなる．)

Δ(W*, z)即ちΔ∞のfによる行き先はzとなる.

(つぎに，ｚとことなるｗのげんａをにんいにあたえよう．)

次に, zと異なるW*の元aを任意に与えよう.

W*がf列になることについて、原文の証明では不十分なので証明を補います

(ｚはでるたのげんでａはｗのげんであるため，ａはｚよりしんにちいさい．)

zはΔ∞の元でaはW∞の元であるため, aはzより真に小さい.

(したがってｗａとｗａはいっちするため，)

従ってW*〈a〉とW∞〈a〉は一致するため,

(でるたｗ，ａとでるたｗ，ａもいっちする．)

Δ(W*, a)とΔ(W∞, a)も一致する.

(ａはｗのげんでｗはｆれつのため，)

aはW∞の元でW∞はf列のため,

(でるたｗ，ａすなわちでるたｗ，ａのｆによるいきさきはａとなる．)

Δ(W*, a)即ちΔ(W∞, a)のfによる行き先はaとなる.

(よってｗはｆれつであることがしめされた．)

よってW*はf列であることが示された.

(したがって，ｗをしんにふくむようなｆれつがそんざいすることになるが，)

従って, W∞を真に含むようなf列が存在することになるが,

(このことはｗがほうがんかんけいのいみでさいだいのｆれつであることにむじゅんする．)

このことはW∞が包含関係の意味で最大のf列であることに矛盾する.

(このむじゅんは，ｗがｘのきょくだいげんでないとかていしたことからしょうじたものである．)

この矛盾は, wがXの極大元でないと仮定したことから生じたものである.

(よってｗはｘのきょくだいげんである．ゆえにつぉるんのほだいがなりたつ．)

よってwはXの極大元である. ゆえにツォルンの補題が成り立つ.